Furstenberg e a infinitude dos números primos

Para entender esse texto, o leitor deve estar familiarizado com o conceito de topologia.

Frustenberd é um matemático israelense muito respeitado pelos resultados que obteve na teoria de probabilidade e teoria ergódica. Ele ficou famoso logo no começo da carreira ao publicar, em 1955, quando ele era apenas um aluno de graduação, uma demonstração da infinitude dos primos usando apenas a definição de topologia e algumas propriedades de sequências infinitas de números inteiros.

Essa demonstração ficou famosa pois ela está bem longe das demonstrações rotineiras da área de topologia: trata-se de uma técnica topológica aplicada à teoria dos números! Por isso mesmo é considerada muito estranha e fascinante. Inclusive ela está listada entre outras 6 demonstrações da infinitude dos números primos que aparece no livro Proofs from THE BOOK.

Vou começar definindo uma topologia sobre o conjunto dos números inteiros e então, usamos as propriedades dos abertos dessa topologia para mostrar que existem infinitos números primos.

Uma topologia em Z

Dados dois inteiros a,b, com a positivo, considere o conjunto:

Diremos que um subconjunto A de Z é aberto se, qualquer que seja a em A, existe b inteiro positivo, que depende de a, tal que, Na,b é subconjunto de A.

Não é difícil demonstrar que de fato definimos uma topologia sobre Z. Convido o leitor a verificar esse fato.

Observe que os abertos da topologia de Z possuem as seguintes propriedades:

1. Se A é aberto e não vazio, então A é infinito.
2. Cada Na,b, por definição, é aberto. Também é fechado, já que é complementar de um aberto. Veja:

Como todo número inteiro difernet de -1 e 1 pode ser dividido em duas classes, a dos números primos e a classe dos números compostos (isto é, números que podem ser fatorados em números primos), temos a seguinte igualdade:

Suponha, por absurdo, que exista apenas um número finito de números primos. Então temos que o lado esquerdo da igualdade acima é fechado. Logo {-1,1} é um conjunto aberto, o que contradiz a propriedade 1 da topologia de Z. Portanto, é um absurdo supor que o conjunto P dos números primos é finito.

A demonstração acaba aqui, mas espero que o interesse do leitor pela topologia e suas técnicas não. Para os interessados, vale a pena ler a página da Wikipédia sobre Topologia.